가우스 적분

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1. 개요2. 상세
2.1. 값 유도
2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환2.1.2. 방법 2: 기하학적 방법
2.2. 오차함수(error function)2.3. 연관된 적분
3. 기타4. 관련 문서

1. 개요 [편집]

Gaussian integral

파일:namu_가우스적분_개요.svg

가우스 함수 f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^{2}}의 실수 전체값에 대한 이상적분이며, 그 값은 아래와 같다.

∫−∞∞e−x2 dx=π\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi}

2. 상세 [편집]

2.1. 값 유도 [편집]

2.1.1. 방법 1: 극좌표계 변환 [편집]

위 적분의 값은 극좌표계를 통한 적분으로 구할 수 있다. 우선적으로 우리는 다음과 같은 중적분을 고려하자.

(∫−∞∞e−x2 dx)(∫−∞∞e−y2 dy)=∫−∞∞∫−∞∞e−x2e−y2 dxdy\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr) =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,{\rm d}x{\rm d}y

그런데, xx, yy는 적분 시 사라지는 더미변수로써 위 값은

(∫−∞∞e−x2 dx)(∫−∞∞e−y2 dy)=(∫−∞∞e−x2 dx)2\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2}

으로 생각할 수 있다. 적분을 간단히하면,

∫−∞∞∫−∞∞e−(x2+y2) dxdy\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,{\rm d}x{\rm d}y

이것을 극좌표계로 변환하면, dxdy→r drdθ{\rm d}x{\rm d}y \to r\, {\rm d}r {\rm d}\theta, x2+y2→r2x^2+y^2 \to r^{2}으로 쓸 수 있고, 적분 구간은 0≤r≤∞0 \leq r \leq \infty, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi이 됨에 따라

∫02π∫0∞re−r2 drdθ=∫02πdθ∫0∞re−r2 dr=2π[−e−x22]0∞=2π[0−(−12)]=π\displaystyle \begin{aligned} &\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r {\rm d}\theta \\&= \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}}\,{\rm d}r \\ &= 2\pi \biggl[ -\frac{e^{-x^2}}{2} \biggr]_{0}^{\infty} \\ &=2\pi \biggl[0-\biggl(-\frac{1}{2} \biggr) \biggr] \\&=\pi \end{aligned}

이상에서

(∫−∞∞e−x2 dx)2=π\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x \biggr)^{2} =\pi

임에 따라

∫−∞∞e−x2 dx=π\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\sqrt{\pi}

이 증명된다. 적분값을 양수로 취하는 것은 모든 실수 xx에 대하여 f(x)=e−x2>0f(x)=e^{-x^2}>0이어서 정적분의 값 또한 양수이어야 하기 때문이다. 직관적으로 아주 당연한 사실이다.

참고적으로 f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}에 대하여 f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)[1]가 성립하므로

∫0∞e−x2 dx=∫−∞0e−x2 dx=π2\displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\int_{-\infty}^{0} e^{-x^{2}}\,{\rm d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

임을 알 수 있다.

2.1.2. 방법 2: 기하학적 방법[2] [편집]

함수 f(x)=e−x2f(x)=e^{-x^2}을 yy축을 회전축으로 하여 회전하면 곡면 f(x, y)=e−(x2+y2)f(x,\,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})}을 얻는다. 이 곡면과 xyxy평면으로 둘러싸인 영역의 부피를 구해보자. 이때, 0<e−x2≤10<e^{-x^{2}} \leq 1임을 상기하고,

e−x2=y→[x(y)]2=−ln⁡y\displaystyle e^{-x^2}=y \to [x(y) ]^{2}=-\ln{y}

로 부터 회전체의 부피 공식을 사용하면,

π∫01[x(y)]2 dy=π\displaystyle \pi \int_{0}^{1} [x(y) ]^{2}\,{\rm d}y=\pi

로 구해지게 된다. 한편, 곡면 z=f(x, y)z=f(x,\,y)를 평면 x=ax=a로 잘라서 생기는 단면의 넓이를 적분해서도 구할 수 있으며, 그 단면의 넓이를 우선적으로 구하면,

∫−∞∞e−(y2+a2) dy=e−a2∫−∞∞e−y2 dy\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^2+a^2)}\,{\rm d}y=e^{-a^2}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y

이제 이 면적을 aa에 대해 적분하면,

∫−∞∞e−a2(∫−∞∞e−y2 dy)da=(∫−∞∞e−a2 da)(∫−∞∞e−y2 dy)\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2} \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr) {\rm d}a= \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)

그런데 yy, aa는 각각 적분 시 상쇄되는 더미변수로써 이 값을

(∫−∞∞e−a2 da)(∫−∞∞e−y2 dy)=(∫−∞∞e−y2 dy)2\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a^2}\,{\rm d}a \biggr) \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)=\biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2}

으로 생각해도 무방하다.

이상에서 해당 값과 회전체의 부피 공식을 이용해서 구한 부피는 같아야 하므로

(∫−∞∞e−y2 dy)2=π\displaystyle \biggl( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y \biggr)^{2}=\pi

이에 방법 1과 같은 결과를 얻었음을 알 수 있다.

2.2. 오차함수(error function) [편집]

다음과 같은 함수를 고려해보도록 하자.

F(t)=2πe−t2\displaystyle F(t)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-t^{2}}

이때,

∫0∞F(t) dt=1\displaystyle \begin{aligned} \int_{0}^{\infty} F(t)\,{\rm d}t=1 \end{aligned}

으로 규격화시킬 수 있고, 이때 적분의 상한을 변수로 한 함수

2π∫0xe−t2 dt:=erf(x)\displaystyle \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,{\rm d}t := \mathrm{erf}(x)

을 오차함수(error function)라 정의한다. 자세한 사항은 해당 문서를 참조하자.

2.3. 연관된 적분 [편집]

가우스 적분을 통하여 유도할 수 있으므로 그 결과만을 적는다. 단, a>0a>0인 상수이고, nn은 자연수이다.

∫−∞∞e−ax2 dx=πa∫−∞∞e−ax2+bx dx=eb2/4aπa∫0∞xne−ax2 dx={(n−1)!!2(n+2)/2an/2πa for n even.[(n−1)/2]!2a(n+1)/2 for n odd.\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,{\rm d}x&=\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx}\,{\rm d}x&=e^{b^2/4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}} \\ \int_{0}^{\infty} x^{n}e^{-ax^2}\,{\rm d}x &=\begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{2^{(n+2)/2}a^{n/2}} \sqrt{\dfrac{\pi}{a}} & \text{ for } n \text{ even.} \\ \\ \dfrac{[(n-1)/2]!}{2a^{(n+1)/2}} & \text{ for } n \text{ odd.} \end{cases} \end{aligned}

3. 기타 [편집]

4. 관련 문서 [편집]

[1] 즉, f(x)f(x)는 짝함수(우함수; even function)임을 알 수 있다.[2] 출처

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